1. Définition et modes de génération

Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels ℕ (ou une partie de ℕ) à valeurs dans ℝ. On note (u_n) la suite dont le terme de rang n est u_n. Le programme MINESEC de 1ère C distingue deux modes principaux de génération :

• Mode explicite : le terme général u_n est donné en fonction directe de n. Exemple : u_n = 3n + 5.
• Mode récurrent : on connaît le premier terme u_0 (ou u_1) et une relation u_{n+1} = f(u_n). Exemple : u_0 = 2 et u_{n+1} = 2u_n + 1.

Selon le programme officiel MINESEC de mathématiques 1ère C (arrêté n°33/D/63/MINESEC/IGE), « l'étude des suites numériques constitue une introduction à l'analyse et à la modélisation de phénomènes discrets ». Source : minesec.gov.cm.

2. Suites arithmétiques

Une suite (u_n) est dite arithmétique de raison r si pour tout n ∈ ℕ : u_{n+1} = u_n + r. La différence entre deux termes consécutifs est constante.

Terme général

Si u_0 est le premier terme : u_n = u_0 + n × r. Si l'on connaît u_p (p quelconque) : u_n = u_p + (n − p) × r.

Somme des n+1 premiers termes

S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n = (n+1)(u_0 + u_n)/2. Cette formule sera systématiquement testée à l'OBC.

3. Suites géométriques

Une suite (u_n) est dite géométrique de raison q (q≠0) si u_{n+1} = q × u_n. Le rapport entre deux termes consécutifs est constant.

Terme général

u_n = u_0 × q^n. Plus généralement u_n = u_p × q^(n−p).

Somme

Si q ≠ 1 : S_n = u_0 × (1 − q^(n+1))/(1 − q). Si q = 1 : S_n = (n+1) × u_0.

4. Sens de variation et convergence

Pour étudier le sens de variation, on calcule u_{n+1} − u_n et on étudie son signe :

• Si u_{n+1} − u_n > 0 pour tout n : la suite est strictement croissante.
• Si u_{n+1} − u_n < 0 pour tout n : la suite est strictement décroissante.
• Pour les suites à termes strictement positifs, on peut aussi étudier le quotient u_{n+1}/u_n par rapport à 1.

Convergence (notion intuitive en 1ère C)

Une suite (u_n) converge vers L si u_n se rapproche d'aussi près que l'on veut de L lorsque n devient grand. Au Probatoire C, on étudie surtout :

• Suite arithmétique : converge ⟺ r = 0 (suite constante).
• Suite géométrique de raison q : converge vers 0 si |q| < 1, diverge si |q| > 1.

5. Pièges fréquents au Probatoire OBC

6. Synthèse — Points-clés à retenir

• Arithmétique : u_{n+1} − u_n = r constant ; u_n = u_0 + nr
• Géométrique : u_{n+1}/u_n = q constant ; u_n = u_0 × q^n
• Somme arithmétique : (nb termes) × (premier + dernier) / 2
• Somme géométrique : u_0 × (1 − q^(n+1))/(1 − q)
• Convergence géométrique : 0 si |q| < 1
• Toujours préciser l'indice de départ (u_0 ou u_1) car les formules en dépendent

7. Pour aller plus loin

• MINESEC — Ministère des Enseignements Secondaires du Cameroun
• Office du Baccalauréat du Cameroun (OBC Buéa)
• Manuel CIAM Mathématiques 1ère C — éditions EDICEF Afrique (référence officielle MINESEC)
• Annales OBC Probatoire C 2020-2025 (épreuves de mathématiques)