1. Structure de l'épreuve

Durée : 4 heures, coefficient 4. L'épreuve comprend typiquement 3 exercices indépendants (sur 4-5 points chacun) et 1 problème de synthèse (8-10 points) intégrant fonctions et géométrie.

2. Étude de fonction (10 points en moyenne)

2.1 Plan-type d'étude

1. Domaine de définition Df et continuité
2. Limites aux bornes du domaine (∞, points particuliers)
3. Dérivée f'(x), étude du signe
4. Tableau de variations (avec limites)
5. Asymptotes (verticales, horizontales, obliques)
6. Points particuliers (extrema, points d'inflexion, intersections avec les axes)
7. Tracé de la courbe (repère orthonormé)

2.2 Exemple : f(x) = (x² + 1) / x

• Df = ℝ* (réels privés de 0)
• f'(x) = (x² − 1)/x² = (x − 1)(x + 1)/x²
• f'(x) ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 ou x ≥ 1
• Maximum local en x = −1 : f(−1) = −2
• Minimum local en x = 1 : f(1) = 2
• Asymptote oblique y = x (car f(x) − x = 1/x → 0 à l'∞)

3. Primitives et intégrales

Théorème fondamental : ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). L'intégrale calcule l'aire algébrique sous la courbe.

4. Suites numériques

4.1 Suite arithmétique

uₙ₊₁ = uₙ + r → terme général : uₙ = u₀ + nr. Somme : Sₙ = (n+1)(u₀ + uₙ)/2.

4.2 Suite géométrique

uₙ₊₁ = q × uₙ → uₙ = u₀ × qⁿ. Somme : Sₙ = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q) si q ≠ 1.

4.3 Convergence

Une suite (uₙ) converge vers L si pour tout ε > 0, il existe N tel que |uₙ − L| < ε pour n ≥ N. Par exemple, qⁿ → 0 si |q| < 1.

5. Probabilités

5.1 Probabilité conditionnelle

P(A|B) = P(A∩B) / P(B), pour P(B) ≠ 0.

5.2 Formule des probabilités totales

Si (B₁, B₂, …, Bₙ) forme une partition de Ω : P(A) = Σ P(A|Bᵢ) × P(Bᵢ).

5.3 Loi binomiale

X ~ B(n, p) : P(X = k) = C(n,k) × pᵏ × (1−p)ⁿ⁻ᵏ. Espérance E(X) = np, variance V(X) = np(1−p).

6. Géométrie dans l'espace

• Vecteur AB : composantes (xB − xA, yB − yA, zB − zA)
• Distance AB = √[(xB−xA)² + (yB−yA)² + (zB−zA)²]
• Produit scalaire : u · v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
• Vecteurs orthogonaux : u · v = 0
• Équation d'un plan : ax + by + cz + d = 0, où (a, b, c) est le vecteur normal

Selon le programme officiel du MEPSTA Togo, « l'épreuve de Mathématiques de la série D évalue la maîtrise des techniques de calcul, la rigueur de raisonnement et la capacité à modéliser des situations concrètes par des outils mathématiques. »
Source : education.gouv.tg (consultée le 2026-05-27).

7. Synthèse

• Étude de fonction = 10 points en moyenne
• Primitives, intégrales, suites = blocs récurrents
• Probas : binomiale, conditionnelles, totales
• Géométrie 3D : vecteurs, plans, distances
• Vérifier toujours les conditions d'existence

8. Pour aller plus loin

• Manuel CIAM Terminale D (publié par EDICEF Afrique)
• Annales BAC Togo séries C-D 2020-2025
• MEPSTA — programmes officiels